博弈小题一玫

纳什匆匆地离开了，有很多人怀念，但形式却各种各样。前几天，从@青衣瓦屋的微博中看到这样一道题。

你在图书馆枯坐，一美女主动过来搭讪，并提议：“让我们各自亮出硬币的一面。如果都是正面，我给你3元，如果都是反面，我给你1元，其余情况你给我2元就好。

乍一看貌似是个很简单的问题，其实内含深意。这正是我喜欢的问题。

对此问题可以简单的说：美女是来赚钱的，但你只要赚到美女就可以了。

今天太晚了，改日再作详解，留下一张图作为引子，也许更能引起你的兴趣。

2015年6月7日晚 补

为简单起见，假定两人都以恒定的概率亮出硬币，美女以概率${{p}_{1}}$亮出正面，自己以概率${{p}_{2}}$亮出正面。收益表如下：

美女总的期望收益：

\[\begin{align} b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)=&-3{{p}_{1}}{{p}_{2}}+2{{p}_{1}}\left( 1-{{p}_{2}} \right)+2\left( 1-{{p}_{1}} \right){{p}_{2}}-1\left( 1-{{p}_{1}} \right)\left( 1-{{p}_{2}} \right) \\  =&-8{{p}_{1}}{{p}_{2}}+3\left( {{p}_{1}}+{{p}_{2}} \right)-1 \\  =&\left( 3-8{{p}_{1}} \right){{p}_{2}}+3{{p}_{1}}-1 \\ \end{align}\]

易见，$b\left( \frac{3}{8},{{p}_{2}} \right)\equiv \frac{1}{8}$。也就是说，美女只要以$\frac{3}{8}$的概率亮出正面硬币，她不但可以稳赢，而且营利率还是恒定的。

此外，只要${{p}_{1}}\in \left( \frac{1}{3}\frac{2}{5} \right)$，也可以保证恒有$b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)>0$。

把收益函数$b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)$画出来就是前面的那张图片，其中蓝色代表负收益，红色代表正收益，左下角为$\left(0,0\right)$。

可见美女是来赚钱的，但如果你能赢下美女，那么你的收获的不仅仅是美女，还有输掉的银子。