博弈小题一玫

纳什匆匆地离开了,有很多人怀念,但形式却各种各样。前几天,从@青衣瓦屋的微博中看到这样一道题。

你在图书馆枯坐,一美女主动过来搭讪,并提议:“让我们各自亮出硬币的一面。如果都是正面,我给你3元,如果都是反面,我给你1元,其余情况你给我2元就好。

乍一看貌似是个很简单的问题,其实内含深意。这正是我喜欢的问题。

对此问题可以简单的说:美女是来赚钱的,但你只要赚到美女就可以了。

今天太晚了,改日再作详解,留下一张图作为引子,也许更能引起你的兴趣。

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2015年6月7日晚 补

为简单起见,假定两人都以恒定的概率亮出硬币,美女以概率${{p}_{1}}$亮出正面,自己以概率${{p}_{2}}$亮出正面。收益表如下:

 

美女期望收益 自己正面 自己反面
美女正面 $-3{{p}_{1}}{{p}_{2}}$ $2{{p}_{1}}\left( 1-{{p}_{2}} \right)$
美女反面 $-2\left( 1-{{p}_{1}} \right){{p}_{2}}$ $-1\left( 1-{{p}_{1}} \right)\left( 1-{{p}_{2}} \right)$

美女总的期望收益:

\[\begin{align} b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)=&-3{{p}_{1}}{{p}_{2}}+2{{p}_{1}}\left( 1-{{p}_{2}} \right)+2\left( 1-{{p}_{1}} \right){{p}_{2}}-1\left( 1-{{p}_{1}} \right)\left( 1-{{p}_{2}} \right) \\  =&-8{{p}_{1}}{{p}_{2}}+3\left( {{p}_{1}}+{{p}_{2}} \right)-1 \\  =&\left( 3-8{{p}_{1}} \right){{p}_{2}}+3{{p}_{1}}-1 \\ \end{align}\]

易见,$b\left( \frac{3}{8},{{p}_{2}} \right)\equiv \frac{1}{8}$。也就是说,美女只要以$\frac{3}{8}$的概率亮出正面硬币,她不但可以稳赢,而且营利率还是恒定的。

此外,只要${{p}_{1}}\in \left( \frac{1}{3}\frac{2}{5} \right)$,也可以保证恒有$b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)>0$。

把收益函数$b\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)$画出来就是前面的那张图片,其中蓝色代表负收益,红色代表正收益,左下角为$\left(0,0\right)$。

可见美女是来赚钱的,但如果你能赢下美女,那么你的收获的不仅仅是美女,还有输掉的银子。

About the Author

野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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