一道数学分析证明题与一道趣题

数学分析证明题

已知:$f\ge 0$是周期为$T$的可积函数,且有$\int_{0}^{T}{f\left( x \right)dx}=c$。

求证:$\forall t$ $\exists {{t}_{0}}$ $s.t.$ $\int_{{{t}_{0}}}^{t}{\left( f\left( x \right)-c \right)dx}\ge 0$。

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趣题

汽油危机(摘自《最迷人的数学趣题》第1章)

“汽油危机已经来临,大家都在叫油荒。分散在长长的环形公路各处的加油站所存的油量仅仅够你跑一圈而无点滴富余。请证明,如果你在一个合适的加油站开始启程,把空油箱加足了汽油,你有充分把握可以跑完一圈,不会中途抛锚。”

——出自《组合数学问题与练习》(北荷兰,阿姆斯特丹市1979年出版)

解题的窍门是:设想你在第1站带上足够的燃料,沿着公路环行,每到一处,便把那里的汽油倒进油箱。当你回到起点第1站时,你将发现油箱里的乘油与出发时一样多。每经一站,你必须作好记录,油箱里还有多少油;设想在第k站,油量减到最小值。这就表明,如果你从第k站启程,而油箱里空空如也,你也可以环行一周,途中不愁汽油断档。

两题的关系

回看这两道题,不难发现,前面的数学分析题是根据后面的趣题构造出来的。其中$f$即为加油站的分布密度函数,$T$为环形跑道总长。综合起来看,这两道题又相互印证,使这道数学分析题直观形象,而这道趣题也有理论支撑。

实际上,两题对接的并不十分吻合。应该将数学分析题作一下延伸:

已知:$F\ge 0$是周期为$T$的黎曼-斯蒂尔杰斯积分(Riemann-Stieltjes integral)意义下的可积函数,且有$\int_{0}^{T}{dF\left( x \right)}=c$。求证:$\forall t$ $\exists {{t}_{0}}$ $s.t.$ $\int_{{{t}_{0}}}^{t}{d\left( F\left( x \right)-cx \right)}\ge 0$。

这样就吻合了,^_^

 

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野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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