几何体表面的最短距离

已经有一个月没写博客了,想想,还是偷个懒儿,用几分钟的时间凑一篇吧。

很久之前见过这样一道题:

一只蚂蚁,从一圆锥的底边出发,绕圆锥一周又回到起点。求最短路径。

Tapered

点此查看答案>>

衍生题

  • 1、在长,宽,高分别为 1,2,3 的长方体表面上,蚂蚁想从A’点到对角的C点。求其最短路径。(虽然很相似,但肯定会有人做错)

Cuboid

  • 2、针对原题,假定圆锥高为h,底面半径为r,求蚂蚁的轨迹方程。

衍生题参考答案>>

1、答案是$2\sqrt{3}$。

从A’点到C点的简单路径共有6条,长度有3种,分别是$\sqrt{1+{{\left( 2+3 \right)}^{2}}}$,$\sqrt{2+{{\left( 1+3 \right)}^{2}}}$,$\sqrt{3+{{\left( 1+2 \right)}^{2}}}$。

参考图:

321

2、参数方程如下:

$r$是圆锥半径,$h$圆锥高

记:

$R=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}$

$\alpha =\frac{\cos \frac{r}{R}\pi }{\cos \frac{r}{R}\left( t-\pi \right)}$

$\beta =\frac{\cos \frac{r}{R}\pi }{\cos \frac{r}{R}\left( t-\pi \right)}$

则方程为:

\[\left\{ \begin{align} & x=\alpha r\cos t \\ & y=\alpha r\sin t \\ & z=h\left( 1-\beta \right) \\ \end{align} \right.\]

其中,$t\in \left[ 0,2\pi \right]$

参考图:

mind


生成上图的代码:

 

r = 1;
h = 2.5 r;(* h>Sqrt[3]r *)
R = Sqrt[h^2 + r^2];
p1 = Graphics3D[{Blue, Opacity[0.6], Specularity[White, 20], 
    Lighting -> "Neutral", Cone[{{0, 0, 0}, {0, 0, h}}, r]}, 
   Boxed -> False, Background -> GrayLevel[231/255]];(*圆锥面*)

p2 = ParametricPlot3D[{r (Cos[Pi r/R]/Cos[t r /R - Pi r /R]) Cos[t], 
    r (Cos[Pi r/R]/Cos[t r /R - Pi r /R]) Sin[t], 
    h (1 - Cos[Pi r /R]/Cos[(t - Pi) r/R])}, {t, 0, 2 Pi}, 
   Mesh -> None, PlotRange -> {{-r, r}, {-r, r}, {-h/4, 5 h/4}}, 
   PlotStyle -> Directive[Yellow, Thickness[0.01]], Axes -> None, 
   Boxed -> False, BoundaryStyle -> None, 
   Background -> GrayLevel[231/255], MaxRecursion -> 6];(*曲线*)

ps = Table[
   Show[{p1, p2}, SphericalRegion -> True, ViewAngle -> 0.5, 
    ViewVector -> {7 Cos[t], 7 Sin[t], h/2}], {t, 0.1, 2 Pi, 0.2}];

Export["E:/mind.gif", ps]

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野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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