A Bird in Flight(在空间中看平面几何问题)

本文思路来源:

  1. Stack Exchange 下面的 Mathematica 版块中的一个问题
  2. Matrix67 的一篇博客

前几天在 AMS 上看到一组由直线族绘制的漂亮图片,我们把其中一幅被叫作“A Bird in Flight”的图片放在三维空间中观察,颇有开拓性思想的味道。

原图

原图为起于点$\left( 3\sin {{\left( \frac{2\pi i}{2000} \right)}^{3}},-\cos \left( \frac{8\pi i}{2000} \right) \right)$止于点$\left( \frac{3}{2}\sin {{\left( \frac{2\pi i}{2000} \right)}^{3}},-\frac{1}{2}\cos \left( \frac{6\pi i}{2000} \right) \right)$的直线族,其中$i=1,2,\cdots ,2000$。

下图是用1000条直接绘制的图像:

2D-A_Bird_in_Flight

如果,我们将起点纵坐标余弦的相位从$0$变化到$2\pi$,将得到下面的动态图像:

2D-A_Bird_in_Fligth

 

好漂亮!

仔细一看,好像是在三维空间中舞动的曲面,没错,就是!

投影

甚至在三维空间中的曲面更漂亮!从某个方向看,竟然可以是一个心形(当然也可以是其它的曲面)。这里选择如下空间直线族:

起点$\left( 3\sin \left( \frac{3\pi i}{2000} \right),3\sin {{\left( \frac{2\pi i}{2000} \right)}^{3}},-\cos \left( \frac{8\pi i}{2000} \right) \right)$

终点$\left( \frac{3}{2}\sin \left( \frac{3\pi i}{2000} \right),\frac{3}{2}\sin {{\left( \frac{2\pi i}{2000} \right)}^{3}},-\frac{1}{2}\cos \left( \frac{6\pi i}{2000} \right) \right)$

其中$i=1,2,\cdots ,2000$。下图是用200条直线绘制的图像(蓝色部分是它在YOZ平面上的投影)

3D_A_Bird_in_Fligth1

如果,再次将起点(外环点)的纵坐标余弦的相位从$0$变化到$2\pi$,它在将会是这个样子(蓝色部分是它在YOZ平面上的投影)

3D_A_Bird_in_Fligth2

 


另外,很多类似的三角函数图像都可以这样来玩耍的……

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野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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