内摆线

定义

内摆线,又名内旋轮线:是一小圆在一大圆内滚过时,小圆圆周上某点的轨迹。

当大圆半径是小圆的整数倍时,又名星形线,图像是无交叉的封闭曲线;当两圆的半径比是非整数的有理数时,图像是有交叉的封闭曲线;当两圆的半径比是无理数时,是一条没有尽头的曲线,如果硬是将其画完将会填充满某一环形区域。

与之相关的的还有:摆线和外摆线。特别是外摆线,稍加推广(外摆线的外摆线)将会变得很有意思,点这儿看图

内摆线用参数方程表达比较方便,其一般形式为:

\[\left\{ \begin{align} & x=R\cos t+r\cos \left( -\frac{R}{r}t \right) \\ & y=R\sin t+r\sin \left( -\frac{R}{r}t \right) \\ \end{align} \right.\]

其中$R+r$是大圆的半径,$r$是小圆的半径。

下面的动态图片($R=3$,$r=1$),有助于理解内摆线的定义:

tetracuspid

 

问题

一根单位长度的木条,竖直靠在墙上,它在竖直平面内滑下至水平地面的过程中,会扫过某个区域$D$,见下图。求$D$的曲边的函数表达式,以及$D$的面积$S$。

tetracuspid2

解:

最先想到的是利用切线列出微分方程,进而求解。计算几步之后,发现我的道行尚浅,难以搞定这个微分方程。于是,换了个方法,搞定之,个人感觉方法很漂亮(估计此方法会与某位前人暗合,但的确是独立想出来的)

木条扫过的区域可以用以下点集表示:

$D = \left\{ \left( x,y \right)|x,y>0\ ,\ \exists \theta \in \left( 0,\pi /2 \right)\ s.t.\ \frac{x}{\cos \theta }+\frac{y}{\sin \theta }\le 1 \right\}$

由于,当$x$给定时,点集为竖直的一条线段,所以线段的上端点就是曲边边界上的点

进而曲边边界的纵坐标为:$y=\underset{\theta \in \left( 0,\pi /2 \right)}{\mathop{\max }}\,\left( \sin \theta -x\tan \theta \right)$

记$g\left( \theta \right)=\sin \theta -x\tan \theta $,则${g}’\left( \theta \right)=\cos \theta -\frac{x}{{{\cos }^{2}}\theta }$

令${g}’\left( \theta \right)=0$,解得$\theta =\arccos {{x}^{1/3}}$

所以$y=\sin \arccos {{x}^{1/3}}-x\tan \arccos {{x}^{1/3}}$

化简得$y=\sqrt{1-{{x}^{2/3}}}-\sqrt{1-{{x}^{2/3}}}{{x}^{2/3}}={{\left( 1-{{x}^{2/3}} \right)}^{3/2}}$

所以面积为$S=\int_{0}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2/3}} \right)}^{3/2}}dx}=\frac{3\pi }{32}$

如此漂亮的内摆线

此处不仅有内摆线,还有内摆线的内摆线,并且均按相位做成动态图片。

8张动态图片,共3.29M,点此查看>>

 

About the Author

野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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