共形映射

共形映射简介

共形映射也叫保角变换,它保持了角度以及无穷小物体的形状,但是不一定保持它们的尺寸。更通俗地说,如果原图像中两条直线垂直(或平行或某个夹角),那么在经过共形映射之后的图像中这两条直线也垂直(或平行或某个夹角)。下图(来自维基百科)很直观的反映了这一性质。

535px-Conformal_map.svg

在复分析中,如果复函数 $f(z)$ 在某区域上是全纯函数(在这一区域上可微),且它的导数处处不为零,那么函数 $f(z)$ 就是一个共形映射。于是,我们知道共形映射在复分析中比比皆是。

**变换

共形映射的应用

绘制地图

在绘制世界地图时,把地球仪直接撕开显然不是一种好的方法。通常的做法是,通过某种投影把球面投影到平面上来,再进行绘制。关于地图投影有好多种,自己去看吧。

比如,麦卡托投影法球极平面投影都是共形映射,好处是微观上没有形变,但尺寸和面积就畸形了,特别是在南北极处。

玩耍

只讲理论总是不够生动,于是把自己的照片放到 Mma 里玩耍一番。

理论作图方法

假想把原图铺满复平面,记复平面上的点为${{z}_{0}}$,则经过共形映射$f$变换之后的点为$f\left( z \right)$。那么将复平面上某个区域中的每一点都映像都画出来就好了。

但实际上,这一方法有很多弊端,比如:映像的区域不好控制(需要根据具体的$f$具体分析)、映像图形的质量一般很差(特别是对于被广大的部分,甚至很多点是空白的)

实际作图方法:由于最后展现的是映像,那么可以先计算出$f$的反函数${{f}^{-1}}$,然后直接绘制映像中每一点在原像集中的颜色就好了。而且还可以省去“把原图铺满复平面”这一步,只要对${{f}^{-1}}\left( z \right)$以图像尺寸为模求余就好了。

下载程序>>


 

注:下面例子中,不全都是复平面上的共形映射。

函数:$\text{f}\left( z \right)=\arcsin z$

Conformal_Map_01


 

函数:$\text{f}\left( z \right)=\arctan z$

Conformal_Map_02


函数:$\text{f}\left( z \right)=\ln z$

Conformal_Map_03


 

函数:$\text{f}\left( z \right)=\frac{z+\text{i}-0.2}{2z+1}$

GiConformal_Map_04


函数:$\text{f}\left( z \right)={{\left( z+\text{i}-0.2 \right)}^{1/3}}$

GiConformal_Map_05

 


反函数:$\text{if}\left( z \right)=\sin z+\frac{{{\left( z+i-0.2 \right)}^{2}}}{3}$

GiConformal_Map_06

About the Author

野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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