分形2之无穷迭代

第一篇博文小谈了一下分形。这次再说说分形更灵活的生成方法——无穷迭代。

理论

定义

$F(\mathbf{x} ) \text{:=} \lim_{k\to \infty } f^k(\mathbf{x} )$

其中$\mathbf{x}\in {{\mathbb{R}}^{n}}$,$f\left( \mathbf{x} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n}}$,$f\left( \mathbf{x} \right)$定义在$\mathbf{d}$上,值域为$\mathbf{v}$。

${{\mathbf{D}}_{1}}:=\left\{ \mathbf{x}|F\left( \mathbf{x} \right)\ is\ exist\ and\ \left\| F\left( \mathbf{x} \right) \right\|<\infty \right\}$,${{\mathbf{V}}_{1}}:=F\left( {{\mathbf{D}}_{1}} \right)$

${{\mathbf{D}}_{2}}:=\left\{ \mathbf{x}|F\left( \mathbf{x} \right)\ is\ Multi-valued\ and\ \left\| F\left( \mathbf{x} \right) \right\|<\infty \right\}$,${{\mathbf{V}}_{2}}:=F\left( {{\mathbf{D}}_{2}} \right)$

$\mathbf{D}:={{\mathbf{D}}_{1}}\bigcup {{\mathbf{D}}_{2}}$,$\mathbf{V}:=F\left( \mathbf{D} \right)$

容易知道$\mathbf{V}\subset \mathbf{D}$。

如果将$\mathbf{D}$细分,它是由以下点集构成的:①不动点集,②压缩点集,③振荡点集,④*发散点集。

讨论

当$n=1$时,即便$f\left( \mathbf{x} \right)$是多项式,$\mathbf{D}$和$\mathbf{V}$也是比较复杂的。根据经验$\mathbf{V}$一般是单点集。

当$n=2$时,$\mathbf{D}$和$\mathbf{V}$就更加复杂了,而且还很有趣。为了方便讨论,将上面的定义写成显式的向量形式:\[f{{\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)}^{T}}:={{\left( {{f}_{1}}{{\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)}^{T}},{{f}_{2}}{{\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)}^{T}} \right)}^{T}}\],其中${{f}_{1}}$和${{f}_{2}}$都是普通的二元函数。当${{f}_{1}}$和${{f}_{2}}$满足柯西-黎曼方程时,这样生成的图形与通过复数生成的分形是一致的。本文中的分形图案主要是由不满足柯西-黎曼方程的${{f}_{1}}$和${{f}_{2}}$生成的,用这样方式生成的分形更加灵活有趣。

当$n=3$时,可以用这种方式生成三维分形。当$n>3$时,可以生成高维分形,但难以表达。

Mathemaitca代码

Fractal2

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漂亮的分形图案

InfiniteIteration-0 InfiniteIteration-1

InfiniteIteration-2 InfiniteIteration-3 InfiniteIteration-4 InfiniteIteration-5 InfiniteIteration-6 InfiniteIteration-7 InfiniteIteration-8 InfiniteIteration-9 InfiniteIteration-10 InfiniteIteration-11 InfiniteIteration

About the Author

野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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