问题
证明对任意有理数$q$,$\sin \left( q\pi \right)$都是代数数。
忘记是怎么想到这个命题的了,感觉应该正确,于是证之。
证明
当$q=0$时,结论是显然的,当$q\ne 0$时,
首先证明对任意正整数$n$,$\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数,
由棣莫弗公式得
\[-1=\cos \left( n\frac{\pi }{n} \right)+i\sin \left( n\frac{\pi }{n} \right)={{\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{\cos }^{k}}\frac{\pi }{n}{{i}^{n-k}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]
当$n$是奇数时,提取等号两边的虚部可得,
\[0=\sum\limits_{k}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{n} \right)}^{k/2}}{{\left( -1 \right)}^{\left( n-k-1 \right)/2}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]
当$n$是偶数时,提取等号两边的实部可得,
\[-1=\sum\limits_{k}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{n} \right)}^{k/2}}{{\left( -1 \right)}^{\left( n-k \right)/2}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]
综上,对任意正整数$n$,$\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数。
同理可证,对任意正整数$n$,$\cos \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数。
由三角函数的基本性质及代数数对四则运算的封闭性,可知对于任意整数$k$都有$\sin \left( k\frac{\pi }{n} \right)$和$\cos \left( k\frac{\pi }{n} \right)$是代数数,即对任意有理数$q$,$\sin \left( q\pi \right)$和$\cos \left( q\pi \right)$都是代数数
Wate_Soyan给了一种方法,很简洁,摘录如下:
由于${{e}^{i\pi /n}}$和${{e}^{-i\pi /n}}$是方程${{x}^{n}}+1=0$的两个根,因此它们都是代数数,
所以它们的和与差也都是代数数,即
\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)+\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2\cos \frac{\pi }{n}\]
\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)-\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2i\sin \frac{\pi }{n}\]
下略……
另外,Wate_Soyan还给出了用Mma的证明方法:
Refine[Sin[m \[Pi]/n] \[Element] Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0] Refine[Cos[m \[Pi]/n] \[Element] Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0]
再次看到Mma的强大!
野鹤 其实你可以用这样证
Exp[I [Pi]/n] 是代数方程x^n ==
1 的一个根 所以Exp[I [Pi]/n] [Element] Algebraics
由于代数数的整数幂必然为代数数
所以Exp[I m [Pi]/n] [Element] Algebraics &&
Exp[-I m [Pi]/n] [Element] Algebraics
由Euler公式得到Sin[m [Pi]/n] [Element] Algebraics &&
Cos[m [Pi]/n] [Element] Algebraics
({m, n} [Element] Integers && m > 0 && n > 0 &&
CoprimeQ[m, n] == True)
用mathematics也可以"证明":
Refine[Sin[m [Pi]/n] [Element]
Algebraics, {m, n} [Element] Integers && m > 0 && n > 0]
Refine[Cos[m [Pi]/n] [Element]
Algebraics, {m, n} [Element] Integers && m > 0 && n > 0]
这里不自觉地运用了现成的结论。。。都是域论里面的。。。
你这个方法简单啊。
不仅如此 其实可以"证明"更一般的结论
Refine[a + b [Element] Algebraics, {a, b} [Element] Algebraics]
Refine[a b [Element] Algebraics, {a, b} [Element] Algebraics]
Refine[a^(1/n) [Element] Algebraics,
a [Element] Algebraics && n > 0 && n [Element] Integers]