[证明]对任意有理数$q$,$\sin \left( q\pi \right)$都是代数数

问题

证明对任意有理数$q$,$\sin \left( q\pi \right)$都是代数数。

忘记是怎么想到这个命题的了,感觉应该正确,于是证之。

证明

当$q=0$时,结论是显然的,当$q\ne 0$时,

首先证明对任意正整数$n$,$\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数,

由棣莫弗公式得

\[-1=\cos \left( n\frac{\pi }{n} \right)+i\sin \left( n\frac{\pi }{n} \right)={{\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{\cos }^{k}}\frac{\pi }{n}{{i}^{n-k}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]

当$n$是奇数时,提取等号两边的虚部可得,

\[0=\sum\limits_{k}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{n} \right)}^{k/2}}{{\left( -1 \right)}^{\left( n-k-1 \right)/2}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]

当$n$是偶数时,提取等号两边的实部可得,

\[-1=\sum\limits_{k}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{n} \right)}^{k/2}}{{\left( -1 \right)}^{\left( n-k \right)/2}}{{\sin }^{n-k}}\frac{\pi }{n}}\]

综上,对任意正整数$n$,$\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数。

同理可证,对任意正整数$n$,$\cos \left( \frac{\pi }{n} \right)$都是代数数。

由三角函数的基本性质及代数数对四则运算的封闭性,可知对于任意整数$k$都有$\sin \left( k\frac{\pi }{n} \right)$和$\cos \left( k\frac{\pi }{n} \right)$是代数数,即对任意有理数$q$,$\sin \left( q\pi \right)$和$\cos \left( q\pi \right)$都是代数数


Wate_Soyan给了一种方法,很简洁,摘录如下:

由于${{e}^{i\pi /n}}$和${{e}^{-i\pi /n}}$是方程${{x}^{n}}+1=0$的两个根,因此它们都是代数数,

所以它们的和与差也都是代数数,即

\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)+\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2\cos \frac{\pi }{n}\]

\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)-\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2i\sin \frac{\pi }{n}\]

下略……


另外,Wate_Soyan还给出了用Mma的证明方法:

Refine[Sin[m \[Pi]/n] \[Element] 
 Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0]
 Refine[Cos[m \[Pi]/n] \[Element] 
 Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0]

再次看到Mma的强大!

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野鹤

自由学者,爱好广泛,虽无一精通,却常乐在其中...

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