2010年,在网上看到了一套趣题——《75道逻辑思维题》,其中第5、9、34题比较有意思。以第9题折磨我的时间为最长,依稀记得是在保定回昌黎的火车上做的此题,大概用了1个小时。以第5题最为美妙,第34题最具创造性。现在这些题以及其答案在网上也很容易找到。回顾一下,发现第34题还可以问得更有意思,譬如最佳方案(路程最短)是怎样的?本文对这一问题,给出一种比较不错的方案。另外,其它题目也都不错,推荐各位朋友顺便看看。
原题目:
一个巨大的圆形水池,周围布满了老鼠洞。猫追老鼠到水池边,老鼠未来得及进洞就掉入水池里。猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠(猫不入水)。已知V猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐?
为方便讨论,下面记水池半径为$R$,老鼠的速度为${{v}_{0}}$。
老鼠先游到距圆心$\frac{4-\pi }{4}R$至$\frac{R}{4}$之间的环形区域内,之后保持此距离围绕圆心转圈,直至老鼠、圆心和猫共线(即老鼠将猫甩得最远的时候),最后直接冲向岸边即可。
方案:假设猫位于水池正左方,那么老鼠从圆心向右出发,如下图,先游过一个半径为$\frac{R}{8}$的半圆(此过程老鼠可稍稍放松些,不必全力逃跑),再径直向上即可逃脱。

解释:思考一下便知,该方法是可行的。
由于猫的速度是老鼠的4倍,所以当老鼠与圆心的距离大于$\frac{R}{4}$时,从角速度上来看,老鼠是无法甩开猫的。所以可以把逃脱过程分为两段,第一段把猫甩开的最远,第二段直接奔向岸边。而第一段又是问题的关键所在,即老鼠以怎样的路径才可以最快的将猫甩开。
由于刚开始老鼠必然与猫背向而行,因此只要保持住老鼠与猫的角速度相同即可保持着与猫的距离越来越大,即使得老鼠、圆心和猫共线。再加上老鼠的速度恒为${{v}_{0}}$(全力逃跑的速度),所以可得以下两个关于老鼠的极坐标微分方程。
\[\left\{ \begin{align} & . \frac{d\theta }{dt}=\frac{4{{v}_{0}}}{R} \\ & {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}+{{\left( r\frac{d\theta }{dt} \right)}^{2}}=v_{0}^{2} \\\end{align} \right.\]
当$\theta \le \frac{\pi }{2}$时,解得$r=\frac{R}{4}\sin \theta $。这是一个半圆的极坐标方程,如上图所示。
方案一是最容易想到的解决办法,但老鼠却需要转7圈以上方可逃出猫爪。老鼠定然希望有更好的办法。而方案二,只需要老鼠转半个圈即可逃出猫爪了。虽然此方案已经很不错了,不过,貌似还不能算是最佳方案。就先写到这儿吧,以后有更好的想法再更新,各位朋友可以留言,给出你的方案。
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